Блог geloni-el. Linux, программирование, математика.

Поле комплексных чисел это расширение поля действительных чисел с помощью мнимой части i.  $i = \sqrt[]{-1},$ $a+bi, a,b\in \mathbb{R}$

На поле комплексных  чисел определены операции сложения и умножения по правилу:

$(a, b)+(c,d) = (a+c, b+d)$

$(a,b)*(c,d)=(ac-bd, ad+bc)$

Эти операции обладают следующими свойствами ассоциативности, коммутотивности, дистрибутивности.

Нулем называется такое комплексное число $(x,y)$ ,  что для любова   комплексного числа $(a, b)$ выполняется $(a, b)+(x,y)=(a, b)$  отсюда слудует, что (0, 0)

Противоположным числом $(a, b)$  называется такая пара $(x, y)$ , что $(a,b)+(x, y)=(0, 0)$  отсюда следует, что противоположное число $-(a, b)$.

Единицей называется такое комплексное число $(x, y)$ , что  для произвольного числа  $(a, b)$  выполняется  $(a, b)*(x, y) = (a, b)$ видем, что противоположное  число $(1, 0)$

Деление. Что бы решить $\frac{a+bi}{x+yi}$  нужно умножить числитель и знаменатель на $x-yi$ , то есть на сопряженное число.

Тригометрическая форма комплексного числа.

$|Z|$ - норма.

$|Z|= \sqrt{a^2+b^2}$

$\varphi$ - угол.

$\varphi = arctg(b/a)$

$Z = |Z|(cos(\varphi)-isin(\varphi))$

Умножение в тригометрической форме комплексного числа.

$Z_1Z_2 = |Z_1||Z_2|(cos(\varphi +\psi ) + isin(\varphi +\psi )))$

$\varphi$ - угол $Z_1$

$\psi$ - угол $Z_2$

Деление в тригометрической форме комплексного числа.

$\frac{Z_1}{Z_2} = \frac{|Z_1|(cos\varphi + isin\varphi )}{|Z_2|(cos\psi - isin\psi )} = \frac{|Z_1|}{|Z_2|}(cos(\varphi - \psi )+isin(\varphi - \psi ))$

Формула Муавра.

$[|Z|(cos(\varphi+ 2 \Pi k) + isin(\varphi+ 2 \Pi k)]^n = (|Z|^n(cos(n\varphi+ 2 \Pi k) + isin(n\varphi+ 2 \Pi k))$